Нечеткие множества. Большая энциклопедия нефти и газа

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ВолгГТУ)

Кафедра «Информационные системы в экономике»

по дисциплине

«Информационная безопасность»

«Теория нечетких множеств»

Выполнил:

студент гр. ЭИС-458 Злобина В.О.

Проверил:

к. к.э.н., доцент Фролова Т.С.

Волгоград 2009

Теория нечетких множеств -- раздел прикладной математики, посвященный методам анализа неопределенных данных, в которых описание неопределенностей реальных явлений и процессов проводится с помощью понятия о множествах, не имеющих четких границ.

Теория нечетких множеств -- это расширение классической теории множеств. В классической теории множеств принадлежность элементов некоторому множеству понимается в бинарных терминах в соответствии с четким условием -- элемент либо принадлежит, либо не принадлежит данному множеству. В теории нечетких множеств допускается градуированное понимание принадлежности элемента множеству; степень принадлежности элемента описывается при помощи функции принадлежности.

Переход от принадлежности элементов заданному множеству - к непринадлежности их этому множеству происходит или может происходить постепенно, не резко.

Математический аппарат

Нечеткое множество характеризуется функцией принадлежности, отображающей некоторое множество (носитель нечеткого множества) в отрезок . Значение функции принадлежности показывает степень принадлежности соответствующего элемента носителя рассматриваемому нечеткому множеству. Это значение меняется от 0 (полная непринадлежность) до 1 (полная принадлежность).

Понятие "нечеткое множество" введено Л.А. Заде в 1965 г.. Исходный термин - fuzzy set. Другие варианты перевода на русский язык - нечеткое, расплывчатое, размытое, туманное, пушистое множество.

Теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей.

Применение

Теория нечетких множеств применяется в теории и практике управления системами, в экономике и финансах для решения задач в условиях неопределенности ключевых показателей. Ряд стиральных машин и фотоаппаратов сегодня оборудованы нечёткими контроллерами.

В социологии

В социологии классификация и типология может проводиться по выбранным критериям, или по эмпирически обнаруженным основаниям. Это позволяет выделить теоретические и эмпирические типологии.

В психологии

Применение теории нечетких множеств к финансовому анализу предпри я тий

Введение

В практике финансового анализа хорошо известен ряд показателей, характеризующих отдельные стороны текущего финансового положения предприятия. Сюда относятся показатели ликвидности, рентабельности, устойчивости, оборачиваемости капитала, прибыльности и т.д. По ряду показателей известны некие нормативы, характеризующие их значение положительно или отрицательно. Например, когда собственные средства предприятия превышают половину всех пассивов, соответствующий этой пропорции коэффициент автономии больше 1/2, и это его значение считается "хорошим" (соответственно, когда оно меньше 1/2 - "плохим"). Но в большинстве случаев показатели, оцениваемые при анализе, однозначно нормировать невозможно. Это связано со спецификой отраслей экономики, с текущими особенностями действующих предприятий, с состоянием экономической среды, в которой они работают.

Тем не менее, любое заинтересованное положением предприятия лицо (руководитель, инвестор, кредитор, аудитор и т.д.), далее именуемое лицом, принимающим решения (ЛПР), не довольствуется простой количественной оценкой показателей. Для ЛПР важно знать, приемлемы ли полученные значения, хороши ли они, и в какой степени. Кроме того, ЛПР стремится установить логическую связь количественных значений показателей выделенной группы с неким комплексным показателем, характеризующим финансовое состояния предприятия в целом. То есть ЛПР не может быть удовлетворено бинарной оценкой "хорошо - плохо", его интересуют оттенки ситуации и экономическая интерпретация этих оттеночных значений. Задача осложняется тем, что показателей много, изменяются они зачастую разнонаправленно, и поэтому ЛПР стремится "свернуть" набор всех исследуемых частных финансовых показателей в один комплексный, по значению которого и судить о степени благополучия ("живучести") фирмы.

В анализе хорошо известны так называемые Z-показатели, сопряженные с вероятностью предполагаемого банкротства:

Z = ? ai * xi (1)

нечеткий множество финансовый альтман

где Xi - функции показателей бухгалтерской отчетности, Ai - веса в свертке, получаемые на основе так называемого дискриминантного анализа выборки предприятий, часть из которых обанкротилась. Также устанавливаются пороговые нормативы Z1 и Z2: когда Z < Z1 , вероятность банкротства предприятия высока, когда Z > Z2 - вероятность банкротства низка, Z1 < Z < Z2 - состояние предприятия не определимо. Этот метод, разработанный в 1968 году Э. Альтманом, получил широкое признание на всех континентах и продолжает широко использоваться в анализе, в том числе и в России.

Сопоставление данных, полученных для ряда стран, показывает, что веса в Z - свертке и пороговый интервал сильно разнятся не только от страны к стране, но и от года к году в рамках одной страны (можно сопоставить выводы Альтмана о положении предприятий США за 10 лет анализа). Получается, что Z - методы Альтмана не обладают устойчивостью к вариациям в исходных данных. Статистика, на которую опирается Альтман и его последователи, возможно, и репрезентативна, но она не обладает важным свойством статистической однородности выборки событий. Одно дело, когда статистика применяется к выборке радиодеталей из одной произведенной партии, а другое, - когда она применяется к фирмам с различной организационно-технической спецификой, со своими уникальными рыночными нишами, стратегиями и целями, фазами жизненного цикла и т.д. Здесь невозможно говорить о статистической однородности событий, и, следовательно, допустимость применения вероятностных методов, самого термина "вероятность банкротства" ставится под сомнение.

К тому же, при использовании методов Альтмана возникают передержки. В переводной литературе по финансовому анализу, а также во всевозможных российских компиляциях часто встретишь формулу Альтмана образца 1968 года, и ни слова не говорится о допустимости этого соотношения в анализе ожидаемого банкротства. С таким же успехом в формуле Альтмана могли бы стоять любые другие веса, и это было бы столь же справедливо в отношении российской специфики, как и исходные веса. Такой подход иначе как неквалифицированным и не назовешь.

Словом, подход Альтмана имеет право на существование, когда в наличии (или обосновываются модельно) однородность и репрезентативность событий выживания/банкротства. Но ключевым ограничением этого метода является даже не проблема качественной статистики. Дело в том, что классическая вероятность - это характеристика не отдельного объекта или события, а характеристика генеральной совокупности событий. Рассматривая отдельное предприятие, мы вероятностно описываем его отношение к полной группе. Но уникальность всякого предприятия в том, что оно может выжить и при очень слабых шансах, и, разумеется, наоборот. Единичность судьбы предприятия подталкивает исследователя присмотреться к предприятию пристальнее, расшифровать его уникальность, его специфику, а не "стричь под одну гребенку"; не искать похожести, а, напротив, диагностировать и описывать отличия. При таком подходе статистической вероятности места нет. Исследователь интуитивно это чувствует и переносит акцент с прогнозирования банкротства (которое при отсутствии полноценной статистики оборачивается гаданием на кофейной гуще) на распознавание сложившейся ситуации с определением дистанции, которая отделяет предприятие от состояния банкротства.

В работах, относящихся к выявлению природы вероятности, появляются неклассические вероятности различных типов. Отметим лишь два типа: валентные и аксиологические вероятности. Валентная вероятность выражает ожидаемость реализации гипотезы Н с учетом наличного контекста фактических свидетельств об объекте исследования Е (в частном случае, когда Е - это репрезентативная выборка однородных событий, тогда вероятность является статистической). Аксиологическая вероятность выражает ожидаемость реализации гипотезы Н с учетом контекста субъективных оценок S об объекте исследования, выдвинутых одним из экспертов - квалифицированных наблюдателей объекта исследования, или совокупностью экспертов. Такого рода вероятности уже можно применять в финансовом анализе, как это уже широко делается в экспертных системах и при принятии решений в условиях неопределенности (в частности, при оценке риска инвестиций). Здесь понятие случайности замещается понятием ожидаемости. Однако обозначим еще один аспект, который делает применение неклассичиских вероятностей неудобным в принципе, когда есть гораздо более пригодный математический аппарат для исследований.

Речь идет о нечетких множествах и нечеткой логике. Чем глубже исследуется предприятие, тем больше обнаруживается новых источников неопределенности. Декомпозиция исходной, обычно грубой и приблизительной, модели анализа сопряжена с растущим дефицитом количественных и качественных исходных данных. Сплошь и рядом мы сталкиваемся с неопределенностью, которая в принципе не может быть раскрыта однозначно и четко. Ряд параметров оказывается недоступным для точного измерения, и тогда в его оценке неизбежно появляется субъективный компонент, выражаемый нечеткими оценками типа "высокий", "низкий", "наиболее предпочтительный", "весьма ожидаемый", "скорее всего", "маловероятно", "не слишком" и т.д. Появляется то, что в науке описывается как лингвистическая переменная со своим терм-множеством значений, а связь количественного значения некоторого фактора с его качественным лингвистическим описанием задается так называемыми функциями m-принадлежности фактора нечеткому множеству.

Кривая m строится на основании:

а) данных объективных тестов для работников различных возрастных групп, с выявлением психофизиологических особенностей этих групп (контекст наблюдений такого рода есть контекст свидетельств Е);

б) интуитивных представлений экспертов (контекст S).

Таким образом, функции принадлежности параметров нечетким множествам обладают теми же достоинствами в анализе, что и неклассические типы вероятностей, и вдобавок к этому они являются количественной мерой наличной информационной неопределенности в отношении анализируемых параметров, значение которых описывается в лингвистически-нечеткой форме.

Существо нового комплексного показателя финансового анализа

Нами, специалистами консультационной группы "Воронов и Максимов", разработан новый комплексный показатель финансового анализа на основании результатов теории нечетких множеств. Схема построения показателя следующая:

1. Полное множество состояний А предприятия разбивается на пять (в общем случае пересекающихся) нечетких подмножеств вида:

А1 - нечеткое подмножество состояний "предельного неблагополучия (фактического банкротства)";

А2 - нечеткое подмножество состояний "неблагополучия";

А3 - нечеткое подмножество состояний "среднего качества";

А4 - нечеткое подмножество состояний "относительного благополучия";

А5 - нечеткое подмножество состояний "предельного благополучия".

То есть терм-множество лингвистической переменной "Состояние предприятия" состоит из пяти компонент. Каждому из подмножеств А1… А5 соответствуют свои функции принадлежности m 1(V&M) … m 5(V&M), где V&M - комплексный показатель финансового состояния предприятия, причем, чем выше V&M, тем "благополучнее" состояние предприятия.

2. Осуществляется выбор базовой системы показателей Хi и производится нечеткая классификация их значений. Пусть D(Хi) - область определения параметра Хi, несчетное множество точек оси действительных чисел. Определим лингвистическую переменную "Уровень показателя Хi" с введением пяти нечетких подмножеств множества D(Хi):

В1 - нечеткое подмножество "очень низкий уровень показателя Хi",

В2 - нечеткое подмножество "низкий уровень показателя Хi",

В3 - нечеткое подмножество "средний уровень показателя Хi",

В4 - нечеткое подмножество "высокий уровень показателя Хi",

В5 - нечеткое подмножество "очень высокий уровень показателя Хi".

Задача описания подмножеств {В} - это задача формирования соответствующих функций принадлежности l 1-5(хi).

3. Построение функций принадлежности {m } нечетких подмножеств {А}. Анализируя опыт различных квалификаций лингвистической переменной "Состояние", мы задаемся набором функций принадлежности {m }. Эти функции мы сформировали таким образом, что искомый комплексный показатель финансового состояния предприятия V&M по построению принимает значения от нуля до единицы.

4. Оценка значимостей показателей для комплексной оценки. Каждому i-му показателю в отношении каждого к-го уровня состояния предприятия можно сопоставить оценку pik значимости данного показателя для распознавания данного уровня состояния предприятия. Например, ряд банков, анализируя кредитоспособность заемщика, присваивает большую значимость показателям финансовой устойчивости и ликвидности, и меньшую - показателям прибыльности и оборачиваемости. В то же время, этот критерий не может считаться приемлемым в отношении приватизированных предприятий, ранее находящихся в госсобственности. Обыкновением для таких предприятий является то, что значительный вес основных средств в структуре активов (здания, сооружения и т.д.) соседствует с низкой рентабельностью или даже убыточностью. То есть построение системы весов pik должно проводиться по каждому предприятию строго индивидуально.

Систему оценок значимостей {p} целесообразно пронормировать следующим образом:

k = 1,…,5. (3)

Если система предпочтений одних показателей другим отсутствует, то показатели являются равнозначными, и pik = 1/N.

5. Построение показателя V&M. Комплексный показатель V&M строится как двумерная свертка по совокупности показателей Хi с весами рi и по совокупности их качественных состояний с весами {l }.

6. Распознавание текущего состояния предприятия. Правило для распознавания состояния предприятия имеет вид таблицы 1. Одновременно, в соответствии с результатом распознавания по таблице 1, оценивается степень риска банкротства предприятия.

Заключение

Предложенная методика комплексной оценки финансового состояния предприятия, в действительности, воспроизводит мыслительные человеческие процессы, основанные на субъективных суждениях. Мы добиваемся, чтобы предложенная модель была адекватна не только реалиям объекта исследования, но и специфическим особенностям познающего субъекта, а также формально очерченным границам наличной информационной неопределенности. То, что мы знаем об объекте исследования, и то, как мы это знаем, - все это находит отражение в логико-математических формализмах, на которых основан метод. Мы не пытаемся строить сомнительные свертки на финансовых показателях, тем самым как бы складывая килограммы с километрами, а осуществляем свертку сопоставимых компонент принадлежности показателей к тем или иным нечетким классам и этим обеспечиваем корректность модели.

Распознавание и классификация состояний предприятий - задача, которая вне идеологии нечетких множеств вообще не может быть решена удовлетворительно, потому что прежде чем говорить "плохое" или "хорошее", необходимо принять соглашение, как различать эти субъективные высказывания.

(из статьи Недосекина А. http://www.aup.ru/articles/finance/8.htm)

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Анализ традиционных методов оценки экономической эффективности инвестиционных проектов в условиях риска и неопределенности. Применение теории нечетких множеств в оценке экономической эффективности и риска инвестиционных проектов.

реферат , добавлен 21.10.2006


Усовершенствование теории Альтмана. Разработка оптимизационных подходов для минимизации рисков. Реализация программных комплексов для анализа финансового состояния при оценке кредитоспособности предприятия о возможности принятия решения выдавать кредита.

дипломная работа , добавлен 16.02.2016


Описание лингвистической переменной. Моделирование оценки показателей проекта. Построение функции принадлежности термов, используемых для лингвистической оценки переменной "рост мужчины". Нечеткое моделирование конкурентоспособности кинотеатров.

контрольная работа , добавлен 09.07.2014


Понятие и структура интеллектуальной системы. Математическая теория нечетких множеств. Причины распространения системы Fuzzy-управления. Предпосылки для внедрения нечетких систем управления. Принципы построения системы управления на базе нечеткой логики.

реферат , добавлен 31.10.2015


Исторический обзор теории финансового инвестирования. Применение методологического аппарата нелинейной динамики к моделированию и анализу процессов, протекающих на рынках ценных бумаг. Исследование фрактальных свойств американского фондового рынка.

дипломная работа , добавлен 04.02.2011


Элементы теории массового обслуживания. Математическое моделирование систем массового обслуживания, их классификация. Имитационное моделирование систем массового обслуживания. Практическое применение теории, решение задачи математическими методами.

курсовая работа , добавлен 04.05.2011


Основные положения теории игр. Терминология и классификация игр. Решение матричных игр в чистых и в смешанных стратегиях. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования. Применение теории игр в задачах экономико-математического моделирования.

курсовая работа , добавлен 12.12.2013


Функция и экономическая деятельность предприятия. Сущность методов статистического анализа. Технологии проектирования имитационных математических моделей по оценке и анализу финансового состояния предприятия, экономическая эффективность от их внедрения.

дипломная работа , добавлен 12.12.2011


Решение задач линейного программирования с применением алгоритма графического определения показателей и значений, с использованием симплекс-метода. Использование аппарата теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана ЗЛП.

контрольная работа , добавлен 23.04.2013


Основные показатели финансового состояния предприятия. Кризис на предприятии, его причины, виды и последствия. Современные методы и инструментальные средства кластерного анализа, особенности их использования для финансово-экономической оценки предприятия.

К. Хирота (Институт государства и права)

Прошло более четверти века с тех пор, как Л. А. Заде из Калифорнийского университета предложил теорию нечетких множеств. Эта теория развивалась во многих направлениях, поэтому для восприятия всех ее идей потребуется довольно много времени. Однако чтобы применить ее в конкретной области, достаточно небольшого числа понятий. Ниже рассмотрены основные положения теории нечетких множеств с тем, чтобы ее быстро освоить в прикладной области. Прежде всего изучим теорию четких множеств и двузначную булеву логику. Затем на их основе перейдем к понятиям теории нечетких множеств и нечеткой логики. Кроме того, обратим внимание на нечеткие выводы, особенно важные с точки зрения применения этой теории, а также на нечеткие продукционные правила и нечеткие отношения.

2.1. ЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

Английское слово fuzz, от которого образовано прилагательное fuzzy (нечеткий), означает «ворс» - специальный термин, определяющий свойство тканей. Когда мы смотрим на рисунок на ворсистой ткани, он кажется нам размытым, поэтому говоря «нечеткий», мы будем иметь в виду «неясный», «размытый». Нечетким множеством, например, мы назовем всех японских красавиц. Смысл этого определения нам понятен, но сказать, принадлежит ли этому множеству та или иная девушка однозначно, только с помощью слов «да» или «нет», нам трудно; таким образом, мы имеем дело с неопределенными, нестрогими свойствами объектов изучения.

В отличие от этого мир, свойства которого можно строго определить двумя словами, например «мужчина или женщина?», назовем четким миром. Следовательно, логику компьютеров, которые имеют дело с 0 и 1, будем называть

четкой логикой, а обычные множества - четкими множествами. Как расширение этих понятий можно рассматривать нечеткую логику и нечеткие множества. Для того чтобы подготовиться к пониманию этих понятий, прежде всего изучим теорию четких множеств.

К теории четких множеств в общем случае относятся аксиоматическая теория множеств и элементарная теория множеств. Первая - одна из фундаментальных теорий математики, она требует достаточно высокого уровня философского мышления. Однако здесь нам достаточно всего лишь расширить понятие множества, изучаемого еще в школе, до понятий элементарной теории множеств. Кроме того, для понимания теории нечетких множеств нам необходимо понятие характеристической функции.

Сначала объясним несколько основных терминов и обозначений. Прописными буквами (например, X) будем обозначать совокупность объектов, с которыми мы будем иметь дело, а строчными буквами (например, х) - отдельные структурные элементы. При этом введем обозначение

Фигурные скобки означают совокупность объектов. Саму совокупность (здесь X) назовем предметной областью, полным пространством или вспомогательным множеством. Последнее название особенно часто используется в области нечеткого управления. (Слово «вспомогательный» в математическом анализе и ряде других областей имеет несколько иной оттенок, поэтому обращаем на это внимание.) Отдельные структурные элементы назовем просто элементами или объектами. Тот факт, что х является элементом X, обозначим следующим образом:

В полном пространстве X определим множество (четкое множество). В качестве названий (меток) множеств будем использовать прописные буквы А, В, С. Например, пусть полное множество состоит из десяти цифр

тогда множество четных цифр A - это множество

При этом число структурных элементов назовем мощностью множества или кардинальным числом; введем для него обозначение . В указанных выше примерах

В случае назовем синглетоном. Множество с конечным назовем конечным множеством, все элементы в таком множестве можно записать так, как в формулах (2.3) и (2.4), но, например в случае натуральных или вещественных чисел, т. е. бесконечных множеств, этого сделать нельзя. При этом часто используют способ записи, при котором справа от вертикальной черты записывают все свойства множества. Например формулу (2.4) можно записать в виде

Кроме того, для об означения понятия в виде рисунка часто используют диаграммы Венна (рис. 2.1).

Помимо указанных способов для определения понятий четкого множества существует способ определения с помощью характеристической функции. Характеристическая функция определяющая множество А в полном пространстве X, представляет собой отображение, для которого X есть область определения, а (двузначное множество из 0 и 1) есть область значений:

При этом если элемент удовлетворяет свойствам А, и 0, если не удовлетворяет. Следовательно, если отложить X на горизонтальной, а на вертикальной оси, то получим графической представление, показанное на рис. 2.2.

В полном пространстве X можно рассматривать различные множества, например А с некоторыми свойствами и В с другими свойствами. Объединение всех Таких множеств называется степенным множеством и обозначается Например, пусть

тогда степенное множество есть

Рис. 2.1. Представление множества с помощью диаграммы Вейна.

Рис. 2.2. Определение множества с помощью характеристической функции.

Здесь 0 - специальное множество, в котором нет элементов, оно называется пустым множеством. Его характеристическая функция

Здесь V называется квантором всеобщности, его можно читать словом «всех». (Кроме него есть квантор существования 3 в смысле «существует...».) Эти кванторы часто используются в логике и искусственном интеллекте. В отличие от пустого множества характеристическая функция полного множества X имеет вид

Кроме того, для мощности множества в общем случае справедливо утверждение

Это можно легко вывести из формул (2.8) и (2.9).

Теперь изучим некоторые операции над множествами (рис. 2.3). Прежде всего, отношение вложения множеств: если элементы А обязательно являются элементами В, то А называется подмножеством В (или В - надмножеством А), что обозначается как ( справедливо также при , если , но , то А называется собственным подмножеством В). Если определить А с: В через характеристическую функцию, то получим следующее неравенство:

Для отношения вложения множеств можно доказать

Рис. 2.3. Вложение (а), дополнение (б), произведение (в) и сумма множеств

справедливость трех свойств:

1) рефлексивность

2) антисимметричность

3) транзитивность

Можно сказать, что образует частично упорядоченное множество, или (Для отношения вложени» множеств обычно для произвольных А, В не всегда справед ливо А с В или В а А, поэтому наше множество не является линейно упорядоченным или полностью упорядоченным множеством.)

Федеральное агентство по образованию Восточно-Сибирский государственный технологический государственный университет ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ Учебное пособие Часть I Издательство ВСГТУ Улан-Удэ 2004 УДК 519.5 510.22 ББК 22.12 Ха199 Хаптахаева Н.Б., Дамбаева С.В., Аюшеева Н.Н. Введение в теорию нечетких множеств: Учебное пособие. – Часть I. – Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2004. - 68 с.: ил. Ха199 ISBN 5-89230-199-0 Рецензенты: Д.Ш. Ширапов, д.ф-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Электронно- вычислительные системы» ВСГТУ Б.М. Степанов, к.т.н., доцент, заведующий кафедрой «Информационные технологии) БГУ Учебное пособие предназначено для студентов специальностей 220400 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» и 351500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем». Пособие состоит из двух частей и содержит теоретические основы и приложения по дисциплине «Нечеткая логика». В части I рассмотрены основы теории нечетких множеств: понятие нечетких множеств, нечетких отношений, а также понятие нечеткой и лингвистической переменных. Материал снабжен контрольными вопросами и упражнениями для самостоятельного выполнения. Ключевые слова: нечёткое множество, нечеткое отношение, нечеткая переменная, лингвистическая переменная, нечеткий логический вывод. Печатается по решению редакционно-издательского совета Восточно-Сибирского государственного технологического университета. ISBN 5-89230-199-0 ББК 22.12  Хаптахаева Н.Б. с соавт., 2004 г. ВСГТУ, 2004 г. 2 Оглавление Введение.............................................................................................................................................4 1. Нечеткие множества......................................................................................................................6 1.1. Основные характеристики нечетких множеств...................................................................6 1.2. Методы построения функции принадлежности.................................................................10 1.3. Операции над нечеткими множествами.............................................................................13 1.3.1. Логические операции над нечеткими множествами..................................................13 1.3.2. Алгебраические операции над нечеткими множествами...........................................17 Контрольные вопросы.................................................................................................................21 Упражнения..................................................................................................................................22 2. Нечеткие отношения и операции над ними...............................................................................24 2.1. Нечеткие отношения.............................................................................................................25 2.2. Операции над нечеткими отношениями.............................................................................28 2.3. Свойства нечетких отношений............................................................................................33 2.4. Транзитивное замыкание нечеткого бинарного отношения.............................................37 2.5. Специальные типы нечетких отношений...........................................................................39 2.5.1. Нечеткие отношения предпорядка...............................................................................39 2.5.2. Нечеткие отношения порядка.......................................................................................40 2.5.3. Отношение подобия.......................................................................................................41 2.5.4. Отношения различия. ....................................................................................................43 2.5.5. Отношения сходства и несходства...............................................................................44 Контрольные вопросы.................................................................................................................46 Упражнения..................................................................................................................................47 3. Нечеткая и лингвистическая переменные.................................................................................50 3.1. Понятие нечеткой и лингвистической переменных..........................................................50 3.1.1. Характеристики простых отношений между нечеткими переменными..................52 3.2. Нечеткие числа......................................................................................................................54 3.2.1. Операции над нечеткими числами...............................................................................54 3.2.2. Сравнение нечетких чисел............................................................................................56 3.3. Лингвистические неопределенности...................................................................................59 3.3.1. Вычисление значений лингвистических переменных................................................61 Контрольные вопросы.................................................................................................................64 Упражнения..................................................................................................................................65 Заключение.......................................................................................................................................66 Список рекомендуемой литературы..............................................................................................67 3 Введение Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Традиционные компьютерные вычисления «слишком точны» для реального мира. Человечество столкнулось с проблемами, для решения которых невозможно получить полную информацию или определение которых недостаточно полно. Казалось бы ситуация безвыходная, но благодаря развитию и совершенствованию так называемых нечетких и гибридных систем в настоящее время уже довольно обыденно воспринимаются «сверхинтеллектуальные» стиральные машины и бытовые автоматы, гиперзвуковые самолеты и самонаводящиеся ракеты и многое другое. Математическую основу нечетких и гибридных систем составляют противоположные традиционным компьютерным вычислениям (hard computing), так называемые мягкие вычисления (soft computing), одной из составляющих которых является нечеткая логика. Математическая теория нечетких множеств, предложенная в 1965 в работах Лотфи А. Задэ (Lotfi A. Zadeh), профессора технических наук Калифорнийского университета в Беркли, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых 4 алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности. Учебное пособие состоит из двух частей и содержит теоретические основы нечеткой логики. Первая часть пособия посвящена математической теории нечетких множеств и состоит из трех разделов. В первом разделе рассмотрены основные определения и понятия теории нечетких множеств: характеристики нечетких множеств, методы построения функций принадлежности элемента нечеткому множеству, операции над нечеткими множествами, свойства операций. Второй раздел содержит основные определения и понятия нечетких отношений и операций над ними, свойств нечетких отношений. Рассмотрены специальные типы бинарных нечетких отношений: нечеткое отношение предпорядка, нечеткое отношение порядка, нечеткое отношение подобия, нечеткое отношение сходства, нечеткое отношение различия. В третьем разделе вводятся понятия нечеткой и лингвистической переменных, в качестве значений которых выступают нечеткие множества, а также рассматриваются понятия нечетких чисел и лингвистических неопределенностей. Каждый раздел сопровождается контрольными вопросами и упражнениями для самостоятельного выполнения. 5 1. Нечеткие множества 1.1. Основные характеристики нечетких множеств Опр.1.1. Нечетким множеством А во множестве U называется совокупность пар вида (u, µА(u)), где u∈U, а µА(u)) – это функция принадлежности нечеткого множества А, µА: U → . Здесь U – некоторое обычное множество, называемое универсальным множеством. Для любого элемента U функция принадлежности µА определяет степень принадлежности данного элемента множеству А. Нечеткое множество можно записать следующим образом: A= Υ µ A (u) / u u∈U (1.1) Примеры записи нечетких множеств 1. Если U = (a, b, c, d, e, f); M = (0, 0.5, 1), тогда А можно представить в виде: А = (0/а, 1/b, 0.5/c, 0/d, 0.5/e, 0/f). 2. Если А = (0.8/а1, 1/a2, 0.4/a3, 0.2/a4, 0.5/a5, 0/a6), то U = (a1, а2, а3, а4, а5, а6); M = (0, 0.2, 0.4, 0.5, 0.8, 1). 3. Если элементы множества U являются числовыми значениями, то порядок следования элементов пары должен соответствовать (1.1). U = (1, 2, 3, 4, 5, 6); M = (0, 0.5, 1), тогда А = (0/1, 0/2, 0.5/3, 0.5/4, 0.5/5, 1/6). Обычные множества составляют подкласс класса нечетких множеств. Функцией принадлежности обычного множества В ⊂ U является функция: 1, u ∈ B µ B (u) =  (1.2) 0, u ∉ B Опр.1.2. Нечеткое множество А называется пустым, если µ A (u) = 0, ∀u ∈ U Опр.1.3. Носителем нечеткого множества А называется обычное подмножество таких точек U, для которых величина µА(u) положительна. Носитель обозначается S(A) или SuppA: S (A) = {u u ∈ U , µ A (u) > 0} (1.3) 6 Опр. 1.4. Высотой h(A) нечеткого множества А называется величина h(A) = sup µ A (u) (1.4) u∈U Нечеткое множество А называется нормальным, если его высота равна единице. В противном случае нечеткое множество А субнормально. Отметим, что субнормальное нечеткое множество всегда можно нормализовать, поделив функцию принадлежности µА на величину h(A) = sup µ A (u) . u∈U Опр. 1.5. Элементы множества U, для которых степень принадлежности µА(u) = 0.5 называются точками перехода нечеткого множества А. Примеры нечетких множеств 1. Пусть универсальное множество U представлено в виде {a, b, c, d, e} и нечеткое подмножество А, заданное на U, имеет вид A = (0/a, 0.5/b, 0.6/c, 0.7/d, 0.85/e). Тогда носителем нечеткого множества A является S(A) = {b, c, d, e}. Высота нечеткого множества А - h(A)=0.85. Точка перехода - u=b. Множество А – субнормально. Нормализованное множество будет иметь вид: A = (0/a, 0.6/b, 0.7/c, 0.8/d, 1/e). 2. Пусть универсальное множество U представляет собой интервал , и переменная u, принимающая значения из этого интервала, интерпретируется как «Возраст». Тогда нечеткое множество A, обозначаемое термином «Старый», можно определить функцией принадлежности вида 0, при 0 ≤ u ≤ 50   −1 µ A (u) =   u − 50  −2  (1.5) 1 +    5    , при 50 < u ≤ 100     Здесь носитель S(A) = (50, 100]. Высота множества «Старый» близка к 1, соответственно множество нормальное. Точкой перехода является значение u=55. 7 3. Пусть U = и переменная u, принимающая значения из этого интервала, интерпретируется как «Возраст». Тогда нечеткое множество «Молодой», можно определить функцией принадлежности вида 1, при 1 ≤ u ≤ 25  µ Молодой (u) =  1 (1.6) 1 + ((u − 25) / 5)2 , при 25 < u ≤ 100  Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве U′={Иванов, Петров, Сидоров, …} задается с помощью функции принадлежности µМолодой(u) на U = , называемой по отношению к U′ функцией совместимости, при этом: µМолодой(Петров) = µМолодой(u), где u – возраст Петрова. 4. Пусть U = {Запорожец, Жигули, Мерседес, …} – множество марок автомобилей, а U′ = J
YxeMr
Пусть oj(z) - весовая функция, задающая для каждого розничного торгового предприятия его вес по итогам предыдущей коммерческой деятельности.

Ассортимент предприятия оптовой торговли описывается объединением уровневых множеств:
м = U 0)(z)Mr
І
Вычисление перспективного ассортимента помогает оптовому торговому предприятию определить:
как оптимизировать товарный ассортимент (какие товары обязательно следует иметь на складе при сохранении сложившейся структуры потребителей);
как изменить ассортиментную концепцию при заданном изменении зоны обслуживания, т.е. какие стратегические действия предпринять в случае выхода из числа обслуживаемых потребителей отдельных розничных организаций;
как оптимизировать зону обслуживания (в нашем случае это район эффективной коммерческой деятельности) при исключении из ассортимента тех товаров, признаки которых не удовлетворяют оптовую организацию, или включении тех товаров, признаки которых устраивают ее).
В качестве иллюстрации к данной задаче рассмотрим упрощенный числовой пример.
Пусть оптовая организация имеет на складе 6 потребительских товаров {х„ х2,..., х6} и осуществляет поставки трем потребителям - Zj (крупный универмаг), z2 (небольшой магазин) и z3 (палатка).
В качестве рассматриваемых признаков товаров возьмем следующие:
yt - «цена», у3-«внешний вид»
у2-«качество», у4-«сезонность»,
у5-«ступень жизненного цикла товара».
Пусть: X х Y -gt; и ф5: Y х Z -gt; [О, 1] задаются следующими матрицами:

Характеристики товаров, стоящие в матрице R, указывают, например, что товар х, - дорогой, высококачественный, внешне неброский, соответствует сезону, но несколько устарел технически (или, наоборот, только поступает на рынок и еще неизвестен покупателям).
Характеристики магазинов, стоящие в матрице 5, указывают, например, что второй потребитель - магазин z2 - стеснен в складских помещениях и поэтому предпочитает торговать товарами, соответствующими данному сезону, что следует из значения функции ф$(у4, zJ.
Вычисляем матрицу Т:

{ X, х2, х3, х4, х}, х6,} ,
{Хг х3, ху х6),
{х4,х6,},
Таким образом, широкие возможности крупного универмага zt позволяют ему торговать всем спектром продукции, предлагаемой оптом, магазин z2 в силу недостатка складских помещений, избегает приобретать товары, реализация которых потребует длительного срока, а палатка z3 берет только броские и относительно недорогие товары. Большой спрос на товар х6 не случаен, это действительно товар с блестящими характеристиками: он имеет невысокую цену при среднем качестве, великолепно выглядит, соответствует сезону и достаточно известен розничному покупателю.
Воспользовавшись значениями весовой функции, получаем значения ассортимента:
М = {50хр 30х2, 50х3, 45х4, 50х}, 105х6}
Результатами этой задачи легко воспользоваться при принятии решения о заключении сделки (при анализе поступающего коммерческого предложения).
Для этого следует, определив функцию принадлежности цредлагаемого товара хп +, провести счет согласно приведенному алгоритму, и определить, в какой степени этот товар принадлежит множеству товаров перспективного ассортимента, а если принадлежит, то не вытеснит ли он каких-либо товаров из набора хг,..., хп, уже находящихся на складе предприятия оптовой торговли.
На основании этой оценки лицо, ответственное за заключение сделки, может принять положительное, выжидательное или отрицательное решение.