Соединим конец x обмотки ax с началом b обмотки by , конец y обмотки by с началом c обмотки cz , конец z обмотки cz с началом a обмотки ax так, как показано на рисунке 1. Такое соединение по виду напоминает треугольник, откуда и происходит его название. Линейные провода присоединены в вершинах треугольника.
Рисунок 1. Соединение в треугольник генератора.
Основные соотношения:
1. При соединении в треугольник линейные и фазные напряжения равны потому, что каждые два (как видно из рисунка 1) присоединены к началу и концу одной из фазных обмоток, а все фазные обмотки одинаковы.
2. Линейные токи I
л больше фазных I
ф в √3 = 1,73 раза.
Как доказать, что I л = 1,73 × I ф? Воспользуемся для этого рисунка 2.
Рисунок 2. Определение линейных токов при соединении в треугольник.
Фазные токи I ab , I bc , I ca в трех электроприемниках ЭП (рисунок 2, а ) изображаются векторной диаграммой (рисунок 2, б ), которая получена путем перенесения параллельно самим себе векторов с рисунка 2, а . Вершины треугольника нагрузок a , b и c являются узловыми точками. Поэтому согласно справедливы равенства
I
a + I
ca = I
ab , откуда I
a = I
ab – I
ca ;
I
b + I
ab = I
bc , откуда I
b = I
bc – I
ab ;
I
c + I
bc = I
ca , откуда I
c = I
ca – I
bc .
Понятно, что эти равенства геометрические , поэтому вычитание нужно выполнять по правилам вычитания векторов, что и сделано на рисунке 2, б . Непосредственное измерение длин векторов или вычисления по правилам геометрии показывают, что линейные токи I a , I b и I c больше фазных токов I ab , I bc и I ca в √3 = 1,73 раза.
На рисунке 2, б
также видно, что векторная диаграмма симметричных линейных токов I
a , I
b и I
c сдвинута на 30° в сторону, обратную
вращению векторов, относительно диаграммы фазных токов I
ab , I
bc и I
ca . Иными словами, ток I
a отстает на 30° от тока I
ab . Ток I
b отстает на 30° от тока I
bc , ток I
c отстает на 30° от тока I
ca .
Порядок индексов в обозначении фазных токов указывает на порядок . В нашем примере порядок следования (вращения) фаз: a
, b
, c
.
На рисунке 2, в показано обмоток генератора или вторичных . Векторы токов I ba , I ac , I cb , проходящих в обмотках генератора (вторичных обмотках трансформатора), и векторы токов в нагрузке (I ab , I ca , I bc) соответственно параллельны, но повернуты на 180°. Причина такого расположения векторов станет ясна, если совместить рисунок 2, в с правой частью рисунка 2, а , что и выполнено на рисунке 2, г .
Обращается внимание на то, что все три обмотки внутри генератора (трансформатора) соединены последовательно и образуют замкнутую цепь. Подобное соединение в установках привело бы к . В установках трехфазного тока в силу того, что электродвижущие силы (э. д. с.) сдвинуты по на 120°, ток в этом замкнутом контуре отсутствует, так как в каждый момент сумма э. д. с. трех обмоток равна .
Соединение в треугольник обмоток трансформаторов в двух вариантах показано на рисунке 3. Подробно вопрос о соединениях обмоток трансформаторов рассмотрен в статье "Группы соединения трансформаторов ".
Рисунок 3. Соединение в треугольник трансформаторов.
Соединение в треугольник электроприемников и конденсаторных батарей.
Соединение в треугольник обмоток электродвигателей показано на рисунках 4, а – в . При этом на рисунке 4, а обмотки и соединены и расположены треугольником; на рисунке 4, б обмотки , но расположены произвольно; на рисунке 4, в обмотки расположены звездой, но соединены в треугольник. На рисунке 4, г обмотки расположены треугольником, но .
Рисунок 4. Соединение в треугольник электроприемников.
Все эти рисунки подчеркивают, что дело отнюдь не в том, как расположены изображения электроприемников на чертежах (хотя их часто удобно располагать в соответствии с видом соединения), а в том, что с чем соединено: концы (начала) всех обмоток между собой или конец одной обмотки с началом другой. В первом случае получается соединение в звезду, во втором – в треугольник.
Соединение в треугольник конденсаторных батарей показано на рисунке 4, д .
На рисунке 4, е показано соединение в треугольник ламп. Хотя лампы территориально разбросаны по разным квартирам, но они объединены сначала в группы в пределах каждой квартиры, затем в группы по стоякам 2 и, наконец, эти группы соединены в треугольник на вводном щите 1 . Заметьте: до вводного щита нагрузка трехфазная, после вводного щита (в стояках и квартирах) однофазная, хотя она и включена между двумя фазами.
На каком основании нагрузка, питающаяся от двух фаз названа однофазной? На том основании, что изменения тока в обоих проводах, к которым присоединена нагрузка, происходят одинаково, то есть в каждый момент ток проходит через одни и те же фазы.
Видео 1. Соединение треугольником
1 Отсутствие тока в замкнутом контуре еще не означает, что в фазных обмотках нет тока. Токи в фазных обмотках соответствуют их нагрузкам.
Если конец каждой фазы обмотки генератора соединить с началом следующей фазы, образуется соединение в треугольник. К точкам соединений обмоток подключают три линейных провода, ведущие к нагрузке. На рис. 7.3 изображена трехфазная цепь, соединенная треугольником. Как видно из рис. 7.3, в трехфазной цепи, соединенной треугольником, фазные и линейные напряжения одинаковы.
U л = U ф
I A , I B , I C - линейные токи;
I ab , I bc , I ca - фазные токи.
Линейные и фазные токи нагрузки связаны между собой первым законом Кирхгофа для узлов а, b, с.
Линейный ток равен геометрической разности соответствующих фазных токов.
Сложив левые и правые части системы уравнений, (3.20), получим
İa + ib + ic = 0,
т.е. сумма комплексов линейных токов равна нулю как при симметричной, так и при несимметричной нагрузке.
На рис. 7.4 изображена векторная диаграмма трехфазной цепи, соединенной треугольником при симметричной нагрузке. Нагрузка является симметричной , если сопротивления фаз одинаковы. Векторы фазных токов совпадают по направлению с векторами соответствующих фазных напряжений, так как нагрузка состоит из активных сопротивлений.
При симметричной нагрузке
Z ab = Z bc = Z ca = Z e jφ ,
т.е. Z ab = Z bc = Z ca = Z, φ ab = φ bc = φ ca = φ.
Так как линейные (они же фазные) напряжения U AB , U BC , U CA симметричны, то и фазные токи образуют симметричную систему
İab = Úab / Zab; İbc = Úbc / Zbc; İca = Úca / Zca.
Абсолютные значения их равны, а сдвиги по фазе относительно друг друга составляют 120°.
Линейные токи
İa = İab - İca; ib = İbc - İab; ic = İca - İbc;
образуют также симметричную систему токов (рис.3.13, 3.14).
На векторной диаграмме (рис. 3.14) фазные токи отстают от фазных напряжений на угол φ (полагаем, что фазы приемника являются индуктивными, т.е. φ > 0°). Здесь принято, что напряжение U AB имеет нулевую фазу. Из диаграммы следует, что любой линейный ток больше фазного в раз. Линейный ток İ A отстает по фазе от фазного тока İ ab на угол 30°, на этот же угол отстает İ B от İ bc , İ C от İ ca .
Таким образом, при соединении треугольником действующее значение линейного тока при симметричной нагрузке в раз больше действующего значения фазного тока и U Л = U Ф; I Л =I Ф.
При равномерной нагрузке фаз расчет трехфазной цепи соединенной треугольником, можно свести к расчету одной фазы.
Фазное напряжение U Ф = U Л. Фазный ток I Ф = U Ф / Z Ф, линейный ток I Л =I Ф, угол сдвига по фазе φ = arctg (X Ф / R Ф).
Из векторной диаграммы видно, что
,
I л = √3 I ф при симметричной нагрузке.
Трехфазные цепи, соединенные звездой, получили большее распространение, чем трехфазные цепи, соединенные треугольником. Это объясняется тем, что, во-первых, в цепи, соединенной звездой, можно получить два напряжения: линейное и фазное. Во-вторых, если фазы обмотки электрической машины, соединенной треугольником, находятся в неодинаковых условиях, в обмотке появляются дополнительные токи, нагружающие ее. Такие токи отсутствуют в фазах электрической машины, соединенных по схеме "звезда". Поэтому на практике избегают соединять обмотки трехфазных электрических машин в треугольник.
В общем случае при несимметричной нагрузке Z ab ≠ Z bc ≠ Z ca . Обычно она возникает при питании от трехфазной сети однофазных приемников. Например, для нагрузки, рис. 3.15, фазные токи, углы сдвига фаз и фазные мощности будут в общем случае различными.
Векторная диаграмма для случая, когда в фазе ab имеется активная нагрузка, в фазе bc – активно-индуктивная, а в фазе ca – активно-емкостная приведена на рис. 3.16, топографическая диаграмма – на рис. 3.17.
Построение векторов линейных токов произведено в соответствии с выражениями
При соединении фазных обмоток источника трехфазного тока «треугольником» (рис. 211, а) конец первой фазы АВ соединяется с началом второй фазы ВС, конец второй фазы соединяется с началом третьей фазы СА и конец третьей фазы - с началом первой АВ. Три линейных провода 1, 2 и 3, идущих к приемникам электрической энергии, присоединяются к началам А, В и С этих фаз. Точно так же могут соединяться и отдельные группы приемников Z AB , Z BC , Z CA (фазы нагрузки). При этом каждая фаза нагрузки присоединяется к двум линейным проводам, идущим от источника, т. е. включается на линейное напряжение, которое одновременно будет и фазным напряжением. Таким образом, в схеме «треугольник» фазные напряжения Uф равны линейным Uл и не зависят от сопротивлений Z AB , Z BC , Z CA фаз нагрузки.
Как следует из формулы (77), при соединении «треугольником» трех фазных обмоток генератора или другого источника переменного тока сумма э. д. с, действующая в замкнутом контуре, образованном этими обмотками, равна нулю. Поэтому в этом контуре при отсутствии нагрузки не возникает тока. Но каждая из фазных э. д. с. может создавать ток в цепи своей фазы.
Линейные токи в схеме «треугольник» согласно первому закону Кирхгофа для узлов А, В и С соответственно:
i A = i AB – i CA ; i B = i BC – i AB ; i C = i CA – i BC
Переходя от мгновенных значений токов к их векторам, получим:
? A = ? AB – ? CA ; ? B = ? BC – ? AB ; ? C = ? CA – ? BC
Следовательно, линейный ток равен векторной разности соответствующих фазных токов.
По полученным векторным уравнениям можно для равномерной нагрузки фаз построить векторную диаграмму (рис. 211,б), которую можно преобразовать в диаграмму (рис. 211, в), из которой
видно, что при равномерной нагрузке фаз векторы линейных токов? А, ? B , ? C образуют равносторонний треугольник ABC, внутри которого расположена трехлучевая звезда векторов фазных токов? АВ, ? BC и? СА. Отсюда по аналогии с диаграммой рис. 207,б следует, что
I л = 2I ф cos 30° = 2I ф?3 / 2 = ?3 I ф
т. е. при равномерной нагрузке фаз в схеме «треугольник» линейный ток больше фазного тока в ?3 раз .
Следовательно, при переключении приемников со «звезды» на «треугольник» фазные токи возрастают в?3 раз , а линейные токи - в 3 раза . Возможность включения одних и тех же приемников по схеме «звезда» или «треугольник» расширяет область их применения. Например, если приемник рассчитан на фазное напряжение 220 В, то при соединении по схеме «треугольник» он может быть включен в сеть с линейным напряжением 220 В, а при соединении по схеме «звезда» - в сеть с линейным напряжением 220?3 = 380 В. Приемники, рассчитанные на фазное напряжение 127 В, могут работать в сетях с линейными напряжениями 127 и 127?3= 220 В.
Особенности подвода трехфазного тока к приемникам. В трех-проводной трехфазной сети (при схемах «звезда без нулевого провода» и «треугольник») алгебраическая сумма мгновенных значений линейных токов в любой момент времени равна нулю, поэтому такие токи совместно не создают магнитного поля. Это позволяет прокладывать три линейных провода в одной общей металлической трубе или в кабеле с металлической оболочкой без опасности образования вихревых токов. Не допускается прокладка линейных проводов по отдельности в металлических трубах, так как возникающие вихревые токи вызывали бы сильный нагрев металла. То же самое происходило бы при прокладке в кабеле с металлической оболочкой или в трубе трех линейных проводов при схеме «звезда с нулевым проводом», так как сумма токов в них не равна нулю.
При соединении приемников энергии треугольником (рис. 7-16) отдельные фазы приемника присоединяются к линейным проводам, идущим от генератора. При этом каждая фаза приемника, непосредственно включается на линейное напряжение, которое в то же время будет и фазным напряжением, т. е.
В этом случае фазные напряжения (в отличие от схемы соединения звездой) не зависят от сопротивлений фаз приемника.
За положительное направление фазных токов выбираем направление от А к В, от В к С и от С к А. За положительное направление линейных токов принимаем направление от генератора к приемнику.
По первому закону Кирхгофа для мгновенных значений токов для точки А можно написать:
Аналогично для точки В
и для точки С
Таким образом, мгновенное значение линейного тока равно алгебраической разности мгновенных значений фазных токов тех фаз, которые соединены с данным проводом.
Рис. 7-16. Соединение электроприемников треугольником.
Рис. 7-17. Векторная диаграмма при соединении электроприемников треугольником.
Из сказанного следует, что вектор линейного тока равен разности векторов соответствующих фазных токов, т. е.
На диаграмме (рис, 7-17) векторы линейных токов получены как разности векторов соответствующих фазных токов, причем все векторы проведены из общего начала. Иногда для большей наглядности векторы перемещаются параллельно себе так, чтобы векторы напряжений давали замкнутый треугольник (рис. 7-18).
то действующие значения фазных токов равны между собой и токи сдвинуты по фазам на одинаковые углы от соответствующих напряжений (рис. 7-19), на углы 120° один относительно другого. Следовательно, фазные токи образуют симметричную систему.
Рис. 7-18. Векторная диаграмма при соединении электроприемников треугольником.
Рис. 7-19. Векторная диаграмма для цепи, соединенной треугольником, при равномерной нагрузке фаз.
Опустив перпендикуляр из конца произвольно взятого вектора фазного тока на вектор линейного тока из прямоугольного треугольника ОМН, получим, что
т. е. линейные токи по абсолютной величине больше фазных токов в раз.
Из того же рисунка следует, что линейные токи отстают от соответствующих фазных токов на угол 30°.
Расчет трехфазной симметричной цепи, соединенной треугольником, сводится к расчету одной фазы.
Фазное напряжение
фазный ток
линейный ток
Угол сдвига фазного тока относительно фазного напряжения определяется через его косинус, синус или тангенс:
Активная, реактивная и полная мощности одной фазы определяются выражениями:
При симметричной системе напряжений и токов соответствующие мощности трех фаз определяются выражениями:
При несимметричной системе напряжений или неравномерной нагрузке фаз приемников энергии активная и реактивная мощности трехфазной системы определяются как суммы мощностей отдельных фаз, т. е. они определяются теми же выражениями, которые были приведены для случая соединения приемников энергии звездой.
Рис. 7-20. Схема соединения электрических ламп треугольником.
Соединение треугольником применяется для включения как ламп (рис. 7-20), так и электродвигателей.
При этом необходимо, чтобы номинальное напряжение ламп было равно линейному напряжению сети. Трехфазный электродвигатель включается треугольником, если номинальное фазное напряжение его равно линейному напряжению сети, или звездой, если номинальное фазное напряжение его в V3 раз меньше линейного напряжения сети.
Пример 7-5. Трехфазный электродвигатель, соединенный треугольником, работает при напряжении 220 В с и мощностью 3 кВт. Определить линейные и фазные токи.
Из выражейия (7-22) следует, что
Фазный ток
Пример 7-6. Трехфазный электродвигатель, соединенный треугольником, работает при напряжении 120 В, имея в цепи питания линейный ток 25 А; мощность двигателя 3 кВт. Определить коэффициент мощности двигателя.
Из выражения (7-2) следует, что
При соединений звездой без нулевого провода, приняв за положительное направление линейных токов от генератора к приемнику, по первому закону Кирхгофа, можно написать:
При соединении приемников энергии треугольником сумма линейных токов равна нулю, так как
Естественно, сумма векторов линейных токов равна нулю
Поэтому, например, магнитодвижущая сила трех линейных токов в трехфазном кабеле равна нулю, равен нулю и магнитный поток кабеля. Это позволяет для защиты кабеля от механических повреждений применять стальную броню, не опасаясь перегрева ее от перемагничивания, что имело бы место, если бы сумма токов не была равна нулю.
Обмотки трехфазного генератора, а также трехфазные нагрузки могут быть соединены еще одним способом: конец первой обмотки соединяют с началом второй, конец второй - с началом третьей, конец третьей - с началом первой, а узлы соединения служат отводами (рис. 1-40). Такой способ соединения называют треугольником. Кажущегося короткого замыкания в обмотках генератора не произойдет, так как в любой момент времени сумма ЭДС в его обмотках равна нулю:
и ток при отсутствии внешней нагрузки в замкнутом треугольнике также равен нулю.
Это справедливо в том случае, если все три ЭДС строго
синусоидальны. Но в работе генератора форма ЭДС может отклоняться от синусоидальной, поэтому соединение треугольником обмоток генератора, как правило, не применяют. Однако соединение треугольником широко используется у трехфазных потребителей, создающих симметричную нагрузку (двигатели, печи и т. д.). Именно этот случай соединения мы и рассмотрим несколько подробнее.
Если включить три приемника тока: (см. рис. 1-40) - непосредственно между проводами трехпроводной линии, то получим соединение токоприемников треугольником. При таком соединении нет различия между фазным и линейным напряжениями, так как напряжение между началом и концом каждой фазы приемника является в то же время линейным напряжением. Зато здесь появляется различие между фазными и линейными токами приемника.
Построим векторные диаграммы токов и найдем зависимость между их абсолютными значениями. Условимся положительными направлениями фазных токов считать направления от А к В, от В к С и от С к А, а положительными направлениями линейных токов - направления от генератора к приемнику. Тогда по первому закону Кирхгофа имеем:
Из последних соотношений видно, что любой из линейных токов равен геометрической разности фазных токов двух фаз, непосредственно соединенных с данным проводом линии; причем уменьшаемым является фазный ток, направленный от провода, а вычитаемым - фазный ток, направленный к проводу. Кроме того, из этих же соотношений видно, что при любых равных значениях фазных токов геометрическая сумма линейных токов равна нулю, т. е.
В случае симметричной нагрузки векторы фазных токов одинаково сдвинуты по фазе на угол относительно соответствующих векторов напряжений и создают симметричную трехлучевую звезду фазных токов (рис. 1-41).
Для построения на этой же диаграмме векторов линейных токов воспользуемся соотношениями (1.52), на основании которых вектор каждого линейного тока представляет собой разность между двумя соседними векторами, отсчитанными против часовой стрелки. Произведя построения, аналогичные построениям векторов линейных напряжений (см. рис. 1-39), получим, что векторы линейных токов образуют трехлучевую звезду, повернутую относительно звезды фазных токов на 30° по часовой стрелке. Из полученной диаграммы
видно, что линейные токи представляют собой основания равнобедренных треугольников с углом 120° при вершине. Значения этих токов можно найти как стороны треугольников, лежащих против тупого угла, т. е. аналогично линейным напряжениям:
Таким образом, два способа включения потребителей (звездой или треугольником) расширяют возможности использования этих потребителей. Например, если каждая из трех обмоток трехфазного электродвигателя рассчитана на рабочее напряжение 220 В, то электродвигатель может быть включен треугольником и сеть 220/127 В или звездой в сеть 380/220 В.
Так как в соединении треугольником нет уравнительного провода (нейтрали), то неравномерность нагрузки фаз может значительнее сказаться на работе генератора, чем в случае соединения звездой с нейтралью. Поэтому соединение треугольником чаще всего применяется в силовых установках (трехфазные двигатели и т. д.), где можно добиться близких по значению нагрузок фаз.
В трехфазных цепях способ включения нагрузки (звезда или треугольник) не зависит от способа включения обмоток генератора или трансформатора, питающих данную цепь.
