Напряженность магнитного поля на оси кругового тока (рис. 6.17-1), создаваемого элементом проводника Idl , равна
поскольку в данном случае
Рис. 6.17. Магнитное поле на оси кругового тока (слева) и электрическое поле на оси диполя (справа)
При интегрировании по витку вектор будет описывать конус, так что в результате «выживет» только компонента поля вдоль оси 0z . Поэтому достаточно просуммировать величину
|
|
Интегрирование
выполняется с учетом того, что подынтегральная функция не зависит от переменной l , а
Соответственно, полная магнитная индукция на оси витка равна
|
|
В частности, в центре витка (h = 0) поле равно
На большом расстоянии от витка (h >> R ) можно пренебречь единицей под радикалом в знаменателе. В результате получаем
|
|
Здесь мы использовали выражение для модуля магнитного момента витка Р m , равное произведению I на площадь витка Магнитное поле образует с круговым током правовинтовую систему, так что (6.13) можно записать в векторной форме
|
|
Для сравнения рассчитаем поле электрического диполя (рис. 6.17-2). Электрические поля от положительного и отрицательного зарядов равны, соответственно,
так что результирующее поле будет
|
|
На больших расстояниях (h >> l ) имеем отсюда
|
|
Здесь мы использовали введенное в (3.5) понятие вектора электрического момента диполя . Поле Е параллельно вектору дипольного момента, так что (6.16) можно записать в векторной форме
|
|
Аналогия с (6.14) очевидна.
Силовые линии магнитного поля кругового витка с током показаны на рис. 6.18. и 6.19
Рис. 6.18. Силовые линии магнитного поля кругового витка с током на небольших расстояниях от провода
Рис. 6.19. Распределение силовых линий магнитного поля кругового витка с током в плоскости его оси симметрии.
Магнитный момент витка направлен по этой оси
На рис. 6.20 представлен опыт по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг кругового витка с током. Толстый медный проводник пропущен через отверстия в прозрачной пластинке, на которую насыпаны железные опилки. После включения постоянного тока силой 25 А и постукивания по пластинке опилки образуют цепочки, повторяющие форму силовых линий магнитного поля.
Магнитные силовые линии для витка, ось которого лежит в плоскости пластинки, сгущаются внутри витка. Вблизи проводов они имеют кольцевую форму, а вдали от витка поле быстро спадает, так что опилки практически не ориентируются.
Рис. 6.20. Визуализация силовых линий магнитного поля вокруг кругового витка с током
Пример 1. Электрон в атоме водорода движется вокруг протона по окружности радиусом а B = 53 пм (эту величину называют радиусом Бора по имени одного из создателей квантовой механики, который первым вычислил радиус орбиты теоретически) (рис. 6.21). Найти силу эквивалентного кругового тока и магнитную индукцию В поля в центре окружности.
Рис. 6.21. Электрон в атоме водорода а B = 2,18·10 6 м/с. Движущийся заряд создает в центре орбиты магнитное поле
Этот же результат можно получить с помощью выражения (6.12) для поля в центре витка с током, силу которого мы нашли выше
Пример 2. Бесконечно длинный тонкий проводник с током 50 А имеет кольцеобразную петлю радиусом 10 см (рис. 6.22). Найти магнитную индукцию в центре петли.
Рис. 6.22. Магнитное поле длинного проводника с круговой петлей
Решение. Магнитное поле в центре петли создается бесконечно длинным прямолинейным проводом и кольцевым витком. Поле от прямолинейного провода направлено ортогонально плоскости рисунка «на нас», его величина равна (см. (6.9))
Поле, создаваемое кольцеобразной частью проводника, имеет то же направление и равно (см. 6.12)
Суммарное поле в центре витка будет равно
http://n-t.ru/nl/fz/bohr.htm - Нильс Бор (1885–1962);
http://www.gumer.info/bibliotek_Buks/Science/broil/06.php - теория Бора атома водорода в книге Луи де Бройля «Революция в физике»;
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1922/bohr-bio.html - Нобелевские премии. Нобелевская премия по физике 1922 г. Нильс Бор.
Значение магнитной индукции для любого проводника определяется законом Био - Савара - Лапласа.
-в векторной форме, (15.6)
- в скалярной форме. (15.7)
Вектор всегда перпендикулярен плоскости, построенной на векторах и . С помощью закона Био - Савара - Лапласа рассчитаем магнитную индукцию поля прямого, кругового и соленоидального токов.
Вывод формулы напряжённости магнитного поля прямого тока (рис. 15.9; рис. 15.10) .
Применим формулу 
для вычисления полей простейших токов. Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу (Рис. 15.9) .Все dBв данной точке имеют одинаковое направление. Поэтому сложение векторов dBможно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии b от провода. Из рисунка 15.9 видно, что:
Подставим эти значения в формулу магнитной индукции:
.
Угол для всех элементов бесконечно прямого тока изменяется в пределах от 0 до . Следовательно:
.
Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой: 
. (15.8)
Для того, чтобы получить напряженность магнитного поля, необходимо разделить правую часть формулы (15.8) на :
. (15.9)
Вывод формулы напряжённости магнитного поля кругового тока (рис. 15.11).
Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности (круговой ток). Определим магнитную индукцию кругового тока
Рассмотрим индукции 
, создаваемых двумя элементами контура dl 1 и dl 2 . Т. к. угол между r и dl равен 90°, то sin 90°=1.
Закон Био - Савара - Лапласа для двух элементов:
Выбрав dl 1 =dl 2 и принимая, что r 1 =r 2 , получим:
Проинтегрируем это выражение по всему контуру и заменим r на 
получим:
(15.10)
В частности, при x=0 имеем:
(15.11)
магнитная индукция в центре кругового тока
Напряженность магнитного поля в центре кругового тока равна:
(15.12)
Формула для расчета напряженности магнитного поля кругового тока на его оси принимает вид:
(15.13)
Вывод формулы напряжённости магнитного поля соленоидального тока.
Соленоид представляет собой тонкий провод, навитый плотно, виток к витку, на цилиндрический каркас. В отношении создаваемого им поля соленоид эквивалентен системе одинаковых круговых токов с общей прямой осью. Бесконечно длинный соленоид симметричен относительно любой перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, магнитная индукция которого перпендикулярна к плоскости. Следовательно, в любой точке внутри и вне соленоида вектор может иметь лишь направление, параллельное оси.
Возьмем прямоугольный контур 1-2-3-4. Циркуляцию вектора по этому контуру можно представить следующим образом:
Из четырех интегралов, стоящих в правой части, второй и четвертый равны нулю, так как вектор перпендикулярен к участкам контура, по которым они берутся.
Взяв участок 3-4 на большом расстоянии от соленоида(где поле заведомо должно быть очень слабым), третьим слагаемым можно пренебречь. Следовательно, можно утверждать, что:
Здесь В - магнитная индукция поля в тех точках, где располагается отрезок 1-2, -длина этого отрезка.
Если отрезок 1-2 проходит внутри соленоида на любом расстоянии от его оси, контур охватывает суммарный ток , где - число витков соленоида, приходящееся на единицу его длинны, - сила тока в соленоиде. Поэтому согласно:
Откуда: 
(15.14)
а напряженность магнитного поля соленоидального тока равна:
(15.15)
Отметим, что полученный нами результат не зависит от того, на каком расстоянии от оси (но внутри соленоида) располагается отрезок 1-2. Если этот отрезок располагается вне соленоида, то охватываемый контуром ток равен нулю, вследствие чего:
.
Откуда В=0. Таким образом, вне бесконечного длинного соленоида магнитная индукция равна нулю, внутри - всюду одинакова и имеет величину, определяемую формулой (15.14). По этой причине в учении о магнетизме бесконечно длинный соленоид играет такую же роль, как плоский конденсатор в учении об электричестве. В обоих случаях поле однородно и полностью заключено внутри конденсатора (электрическое) и внутри соленоида(магнитное).
Произведение называется числом ампер - витков на метр.
Тесты к лекции №15
Тест 15.1.Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком бесконечно тонкого прямолинейного проводника, вычисляется по формуле…
£ 
£ 
£ 
£ 
Тест 15.2.Магнитная индукция в центре кругового тока определяется по формуле…
£
£
£
£
Тест 15.3.Форма существования материи, обладающая свойством передавать магнитное взаимодействие.
£ магнитное поле
£ магнитная индукция
£ пробный контур
£ магнитный момент
Тест 15.4.Дайте определение пробного контура.
£ контур, вносящий помехи в исходное поле.
£ контур, усиливающий исходное поле.
£ контур, ослабляющий исходное поле.
£ контур, который не создает заметных искажений исходного поля.
Тест 15.5.Формула 
выражает:
£ вектор магнитной индукции
£ напряженность магнитного поля
£ магнитную индукцию
£ магнитный момент
Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Магнитный поток. Сила Ампера. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Сила Лоренца. Определение удельного заряда электрона
16.1. Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Магнитный поток
16.2. Сила Ампера
16.3. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле
16.4. Сила Лоренца
16.5. Определение удельного заряда электрона
Магнетизм
Характеристики магнитного поля (напряженность, индукция). Силовые линии, напряженность и магнитная индукция прямого тока, в центре кругового тока.
ИНДУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Магнитная индукция - векторная величина: в каждой точке поля вектор магнитной индукции направлен по касательной к магнитным силовым линиям.
Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому воздействию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты. Название «магнитное поле» связывают с ориентацией магнитной стрелки под действием поля, создаваемого током. Это явление было впервые обнаружено датским физиком Х. Эрстедом (1777-1851).
При исследовании магнитного поля были установлены два факта :
1. Магнитное поле действует только на движущиеся заряды;
2. Движущиеся заряды, в свою очередь создают магнитное поле.
Таким образом, мы видим, что магнитное поле существенно отличается от электростатического поля, которое действует как на движущиеся, так и на покоящиеся заряды.
Магнитное поле – силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом.
Любое магнитное поле обладает энергией, которая проявляет себя при взаимодействии с другими телами. Под влиянием магнитных сил движущиеся частички меняют направление своего потока. Магнитное поле появляется лишь вокруг тех электрических зарядов, которые находятся в движении. Всякое изменение электрического поля влечет за собой появление магнитных полей.
Обратное утверждение также верно: изменение магнитного поля - предпосылка к возникновению электрического. Такое тесное взаимодействие привело к созданию теории электромагнитных сил, с помощью которых и сегодня успешно объясняются различные физические явления.
Напряжённость магни́тного по́ля - векторная физическая величина, равная разности вектора магнитной индукции B и вектора намагниченности M . Обычно, обозначается символом Н .
Магнитное поле прямого и кругового токов.
Магнитное поле прямого тока, т е тока текущего по прямому проводу бесконечной длины
Магнитное поле элемента тока ,dl – элемент длины провода 
Проинтегрировав в этих пределах последнее выражение получим магнитное поле равное:
Магнитное поле прямого тока
от всех элементов тока будет образовываться конус векторов , результирующий вектор направлен вверх по осиZ. Сложим проекции векторов на осьZ, тогда каждая проекция имеет вид:
Угол между и радиус векторомr равен .
Интегрируя по dl и учитывая , получим
- магнитное поле на оси кругового витка
Линии напряженности магнитного поля
Силовые линии магнитного поля – окружности. Линиями магнитного поля линии, проведенные так, что касательные к ним в каждой точке указывают направление поля в этой точке. линии поля чертятся так, чтобы их густота, т. е. число линий, проходящих через единицу площади, давала модуль магнитной индукции магнитного поля. Таким образом, мы будем получать «магнитные карты», способ построения и употребления которых аналогичен «электрическим картам» Главное отличие магнитного поля то, что линии его всегда оказываются замкнутыми. 
построение линий магнитного поля
Магнитное поле тока:
Магнитное поле создается вокруг электрических зарядов при их движении. Так как движение электрических зарядов представляет собой электрический ток, то вокруг всякого проводника с током всегда существует магнитное поле тока .
Чтобы убедиться в существовании магнитного поля тока, поднесем сверху к проводнику, по которому протекает электрический ток, обыкновенный компас. Стрелка компаса тотчас же отклонится в сторону. Поднесем компас к проводнику с током снизу - стрелка компаса отклонится в другую сторону (рисунок 1).
Применим закон Био–Савара–Лапласа для расчета магнитных полей простейших токов. Рассмотрим магнитное поле прямого тока.
Все векторы dB от произвольных элементарных участков dl имеют одинаковое направление. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением модулей.
Пусть точка, в которой определяется магнитное поле, находится на расстоянии b от провода. Из рисунка видно, что:
;
Подставив найденные значения r и dl в закон Био–Савара–Лапласа, получим:
Для конечного проводника угол α изменяется от , до. Тогда
Для бесконечно длинного проводника , а , тогда
или, что удобнее для расчетов, .
Линии магнитной индукции прямого тока представляют собой систему концентрических окружностей, охватывающих ток.
21. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету индукции магнитного поля кругового тока.
Магнитное поле кругового проводника с током.
22. Магнитный момент витка с током. Вихревой характер магнитного поля.
Магнитный момент витка с током это физическая величина, как и любой другой магнитный момент, характеризует магнитные свойства данной системы. В нашем случае систему представляет круговой виток с током. Этот ток создает магнитное поле, которое взаимодействует с внешним магнитным полем. Это может быть как поле земли, так и поле постоянного или электромагнита.
Рисунок - 1 круговой виток с током
Круговой виток с током можно представить в виде короткого магнита. Причем этот магнит будет направлен перпендикулярно плоскости витка. Расположение полюсов такого магнита определяется с помощью правила буравчика. Согласно которому северный плюс будет находиться за плоскостью витка, если ток в нем будет двигаться по часовой стрелке.
Рисунок- 2 Воображаемый полосовой магнит на оси витка
На этот магнит, то есть на наш круговой виток с током, как и на любой другой магнит, будет воздействовать внешнее магнитное поле. Если это поле будет однородным, то возникнет вращающий момент, который будет стремиться развернуть виток. Поле буде поворачивать виток так чтобы его ось расположилась вдоль поля. При этом силовые линии самого витка, как маленького магнита, должны совпасть по направлению с внешним полем.
Если же внешнее поле будет не однородным, то к вращающему моменту добавится и поступательное движение. Это движение возникнет вследствие того что участки поля с большей индукцией будут притягивать наш магнит в виде витка больше чем участки с меньшей индукцией. И виток начнет двигаться в сторону поля с большей индукцией.
Величину магнитного момента кругового витка с током можно определить по формуле.
Где, I ток протекающий по витку
S площадь витка с током
n нормаль к плоскости в которой находится виток
Таким образом, из формулы видно, что магнитный момент витка это векторная величина. То есть кроме величины силы, то есть ее модуля он обладает еще и направлением. Данное свойство магнитный момент получил из-за того что в его состав входит вектор нормали к плоскости витка.
