2.3. ВОСЬМЕРИЧНЫЕ ЧИСЛА

Восьмеричная запись, как и шестнадцатеричная, исполь­зуется для представления двоичных чисел. Восьмеричная система содержит 8 цифр от 0 до 7 и является соответствен­но системой с основанием 8. В табл. 2.7 представлено не­сколько десятичных, восьмеричных и двоичных чисел.

Преобразуем двоичное число 11111000100 в его восьме­ричный эквивалент. Процедура действий в этом случае сле­дующая. Начиная с МБ двоичного числа, делим его на группы из 3 бит. Затем, используя табл. 2.7, преобразуем каждую триаду (группу из 3 бит) в эквивалентную восьме­ричную цифру. Таким образом, мы заменим двоичное число 11111000100 его восьмеричным эквивалентом 37048:

Двоичное число 011 111 000 100

Восьмеричное число 3 7 0 4

Преобразуем теперь восьмеричное число 6521 в его дво­ичный эквивалент. Каждая восьмеричная цифра заменяет­ся двоичной триадой и получится, что 65218= 110101010001 2".

Запишем восьмеричное число 2357 в десятичной форме. Классическая процедура выполняется согласно табл. 2.8. Здесь 512, 64, 8 и 1 есть веса четырех первых восьмеричных позиций. Заметим, что в этом примере содержится 7 еди­ниц, 5 восьмерок, 4 числа 64 и два числа 521. Мы их скла­дываем и получаем результат: 1024+192+40+7= 1263 10.

Наконец, преобразуем десятичное число 3336 в его вось­меричный эквивалент. Процедура показана на рис. 2.3. В первую очередь 3336 разделено на 8, что дает частное 417 и остаток 0 10, причем 0 10=08, восьмеричный 0 становится значением MP восьмеричного числа. Первое частное (417) становится делимым и снова делится на 8 (вторая строка), что дает частное 52 и остаток 110=18, который становится второй цифрой восьмеричного числа. В третьей строке ча­стное (52) становится делимым и деление его на 8 дает частное 6 и остаток 4 10=48. В четвертой строке последнее частное 6 разделено на 8 с частным 0 и остатком 6 10=68.

Теперь счет закончен последним частным 0. Цифра 68 ста­новится значением CP восьмеричного числа, и мы можем видеть на рис. 2.3, что 3336ю=64108.

Большинство микропроцессоров и микро-ЭВМ обраба­тывают группы из 4, 8 или 16 бит. Отсюда следует, что обычно чаще используется шестнадцатеричная запись, чем восьмеричная. Однако восьмеричная запись более удо­бна, когда группы бит делятся на 3 (например, группы из 12 бит).

Упражнения

2.18. Для представления двоичных чисел текст докумен­тации 8-разрядного микропроцессора использует _

(шестнадцатеричную, восьмеричную) систему.

2.19. Другим названием восьмеричной системы является

2.20. Записать следующие восьмеричные числа в двоич­ном коде: а) 3; б) 7; в) 0; г) 7642; д) 1036; е) 2105.

2.21. Записать следующие двоичные числа в восьмерич­ном коде: а) 101; б) 110; в) 010; г) 111000101010; д) 1011000111; е) 100110100101.

2.22. 67248=_____10.

2.23. 2648 10=____8.

2.18. Шестнадцатеричную, при которой удобно представить двоич­ное число двумя 4-разрядными группами. 2.19. Система с основанием 8. 2.20. а) 38=0112; б) 78=1112; в) 08 = 0002; г) 76428= 1111101000102;

д) 10368= 10000111102; е) 21058= 100010001012. 2.21. а) 1012=58; б) 1102=68; в) 0102=28; г) 1110001010102 = 70528; д) 10110001112= 13078;

е) 1001101001012 = 46458. 2.22. Согласно процедуре табл. 2.8: 67248= = (512Х6) + (64х7) + (8х2) + (1Х4)=3540 10. 2.23. Согласно процедуре рис. 2.3:

2648 10: 8 = 331, остаток 0 (MP); 331: 8= 41, остаток 3; 41: 8= 5, остаток 1; 5: 8= 0, остаток 5 (CP); 2648 10=51308.

Восьмеричная система счисления

Позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры 0 до 7.

Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триплеты двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Шестнадцатеричная система счисления

(шестнадцатеричные числа) -- позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10 10 до 15 10 , то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Правила переводов десятичных чисел в них и обратно

·

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

Точно так же, начиная с двоичной точки, двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.Таким образом, двоичное число 110001 равнозначно десятичному 49.

Преобразование методом Горнера

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47.

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой:

• 19 /2 = 9 с остатком 1
• 9 /2 = 4 c остатком 1
• 4 /2 = 2 с остатком 0
• 2 /2 = 1 с остатком 0
• 1 /2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в делимом не будет 0. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

Нужно перевести число 1011010.101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

• · Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;
• · Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;
• · В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;
• · Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 206 10 =11001110 2 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

• 116 * 2 = 0.232
• 232 * 2 = 0.464
• 464 * 2 = 0.928
• 928 * 2 = 1.856
• 856 * 2 = 1.712
• 712 * 2 = 1.424
• 424 * 2 = 0.848
• 848 * 2 = 1.696
• 696 * 2 = 1.392
• 392 * 2 = 0.784

Получим: 206,116 10 =11001110,0001110110 2

· Преобразование восьмеричных чисел в десятичные.

Алгоритм перевода чисел из восьмеричной в десятичную систему счисления аналогичен уже рассматривавшему мною в разделе: Преобразование двоичных чисел в десятичные.

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо заменить каждую цифру восьмеричного числа на триплет двоичных цифр.

Пример: 2541 8 = 010 101 100 001 = 010101100001 2

Существует таблица перевода восьмеричных чисел в двоичные

· Преобразование шестнадцатеричных чисел в десятичные.

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число 5A3 в десятичное. В этом числе 3 цифры. В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

5A3 16 = 3·16 0 +10·16 1 +5·16І= 3·1+10·16+5·256= 3+160+1280= 1443 10

Для перевода многозначного двоичного числа в шестнадцатеричную систему нужно разбить его на тетрады справа налево и заменить каждую тетраду соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

Например:

010110100011 2 = 0101 1010 0011 = 5A3 16

Таблица перевода чисел

Системы счисления. Восьмеричные и шестнадцатеричные числа

На прошлых уроках мы с Вами изучили двоичные числа: научились складывать и вычитать, умножать и делить их, а также переводить числа из двоичной в десятичную систему счисления и наоборот.

Сейчас мы рассмотрим еще две системы счисления, которые, как и двоичная, часто используются в информатике – это восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Вы уже знаете, что компьютер «знает» только двоичную систему счисления. Тогда зачем же нужны системы, отличные от двоичной?

Дело в том, что в двоичной системе счисления числа записываются с большим количеством разрядов, т. е. число получается очень длинным. И записывать такие числа на бумаге или читать их на экране монитора довольно неудобно.

Поэтому кроме двоичной в информатике используют еще две вспомогательные системы счисления – восьмеричную и шестнадцатеричную. Они позволяют более компактно записывать числа.

Выбор систем счисления с основаниями 8 и 16 обусловлен тем, что числа 8 и 16 являются степенями числа 2: 8 = 2 3 , 16 = 2 4 . Поэтому мы с легкостью сможем преобразовывать числа из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную систему счисления и наоборот.

Но для начала давайте рассмотрим алфавиты восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления, т. е. цифры, с помощью которых мы будем записывать числа в этих системах счисления.

Восьмеричные числа записываются с помощью восьми цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. А вот алфавит шестнадцатеричной системы счисления состоит из десяти цифр и шести букв латинского алфавита: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Давайте составим таблицу соответствия первых двадцати чисел трех систем счисления: десятичной, восьмеричной и шестнадцатеричной.

Как видно из нее, чем больше основание системы счисления, тем меньше код числа. Например, число 14 в десятичной и восьмеричной системе счисления записывается с помощью двух знаков, а в шестнадцатеричной – с помощью одного.

А сейчас мы с Вами научимся переводить двоичные числа в восьмеричные и шестнадцатеричные. Например, переведем число (1101011) 2 в восьмеричное.

Для того чтобы перевести двоичное число в восьмеричное, нужно разбить его справа налево на группы по три цифры в каждой, а затем каждой группе в соответствие поставить восьмеричное число.

Разобьем число (1101011) 2 на группы по три цифры: 1, 101, 011. И поставим в соответствие восьмеричные числа, получим: 1, 5, 3. Т. е. получили число (153) 8 .

Чтобы выполнить обратное преобразование, надо в соответствие каждой цифре восьмеричного числа записать группу из трех двоичных цифр.

Итак, чтобы перевести число (153) 8 в двоичную систему счисления, записываем 001, 101, 011. Опускаем первые ведущие нули и получаем число (1101011) 2 .

Для шестнадцатеричной системы преобразование выполняется аналогично, только число разбивается справа налево на группы не по три, а по четыре двоичные цифры.

Переведем число (1101011) 2 в шестнадцатеричную систему счисления: 110, 1011. Теперь в соответствие каждой четверке цифр записываем шестнадцатеричную цифру: 6, В. Т. е. получили число (6B) 16 .

А теперь переведем полученное нами число (6В) 16 в двоичную систему счисления. Вместо каждой цифры шестнадцатеричного числа записываем четверку цифр соответствующего двоичного числа: 0110, 1011. Опускаем ведущие нули и получаем (1101011) 2 .

Теперь, если Вы хорошо усвоили материал, можете закрепить его, выполнив несложные задания. Для этого перейдите в режим тренажера. Если хотите позаниматься позже – закройте текущее окно.

Упражнение №1. Переведите в восьмеричную систему счисления число (101101) 2 .

А) (55) 8; (+)

Б) (56) 8;

В) (215) 8 ;

Г) (216) 8.

Упражнение №2. Переведите в двоичную систему счисления число (162) 8 .

А) (110011) 2;

Б) (1110010) 2; (+)

В) (110111) 2;

Г) (110101) 2.

Упражнение №3. Переведите в шестнадцатеричную систему счисления число (1010111001001101) 2 .

А) (AE4D) 16; (+)

Б) (AED) 16;

В) (A4ED) 16;

Г) (DEA) 16.

Упражнение №4. Переведите в двоичную систему счисления число (5АВ) 16 .

А) (101101011) 2 ;

Б) (1011101011) 2;

В) (10110101011) 2; (+)

Г) (10110101001) 2.

Упражнение №5. Найдите значение выражения (15) 8 + (А2) 16 , записав результат в виде двоичного числа.

А) (11101111) 2;

Б) (10111111) 2;

В) (10101111) 2; (+)

Г) (10101001) 2.

Позиционная система счисления с основанием 8, в которой для записи чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. См. также: Позиционные системы счисления Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - (octal notation) Система чисел, использующая для выражения чисел восемь цифр от 0 до 7. Так, десятичное число 26 в восьмеричной системе будет записано как 32. Не будучи столь популярной, как шестнадцатиричная система счисления (hexadecimal… … Словарь бизнес-терминов

восьмеричная система счисления - — Тематики электросвязь, основные понятия EN octal notation … Справочник технического переводчика

восьмеричная система счисления

восьмеричная система - aštuonetainė sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. octal notation; octal number system; octal system; octonary notation vok. Achtersystem, n; oktales Zahlsystem, n; Oktalschreibweise, f; Oktalsystem, n rus. восьмеричная система … Automatikos terminų žodynas

Система счисления

Двенадцатиричная система счисления

Двенадцатичная система счисления - Двенадцатеричная система счисления позиционная система счисления с целочисленным основанием 12. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Существует другая система обозначения, где для недостающих цифр используют не A и B, а t от… … Википедия

ШЕСТНАДЦАТИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - (hexadecimal notation) Числовая система, использующая десять цифр от 0 до 9 и буквы от A до F для выражения чисел. Например, десятичное число 26 записывается в этой системе как 1А. Числа шестидесятеричной системы широко используются в… … Словарь бизнес-терминов

Позиционная система счисления - Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… … Википедия

Арифметические основы цифровой техники.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

Представление чисел в различных системах счисления.

Для преставления в цифровых устройствах чисел, а также другой информации в процессе программирования наряду с привычной для нас десятичной системой счисления широко используются другие системы. Рассмотрим наиболее употребительные позиционные системы счисления. Числа в таких системах счисления представляются последовательностью цифр (цифр разрядов), разделенных запятой на две группы: группу разрядов, изображающую целую часть числа, и группу разрядов, изображающую дробную часть числа:

Здесь , , …обозначают цифры нулевого, первого и т.д. разрядов целой части числа, , … - цифры первого, второго и т.д. разрядов дробной части числа.

Цифре разряда приписан вес , где – основание системы счисления; – номер разряда, равный индексу при обозначениях цифр разрядов. Так, приведенная выше запись означает следующее количество:

Для представления цифр разрядов используется набор из различных символов. Так, при (т.е. в обычной десятичной системе счисления) для записи цифр разрядов используется набор из десяти символов: 0, 1, 2, …, 9. При этом запись (здесь и далее индекс и при числе указывает основание системы счисления, в которой представлено число) означает следующее количество:

,

Используя такой принцип представления чисел, но выбирая различные значения основания р, можно строить разнообразные системы счисления.

В двоичной системе счисления основание системы счисления р = 2. Таким образом, для записи цифр разрядов требуется набор всего лишь из двух символов, в качестве которых используются 0 и 1. Следовательно, в двоичной системе счисления представляется последовательностью символов 0 и 1. При этом запись 11011,1012 соответствует в десятичной системе счисления следующему числу:

Весовые коэффициенты разрядов

В восьмеричной системе счисления основание системы счисления р = 8. Следовательно, для представления цифр разрядов должно использоваться восемь разных символов, в качестве которых выбраны 0, 1, 2, …, 7 (заметим, что символы 8 и 9 здесь не используются и в записи чисел встречаться не должны). Например, записи в десятичной системе счисления соответствует следующее число:

,

Весовые коэффициенты

разрядов

т.е. запись означает число, содержащее семь раз по , три раза по , пять раз по , четыре раза по , шесть раз по .

В шестнадцатеричной системе счисления основание системы счисления р = 16 и для записи цифр разрядов должен использоваться набор из 16 символов: 0, 1, 2, …, 9, А, B, C, D, E, F. В нем используются 10 арабских цифр, и до требуемых шестнадцати их дополняют шестью начальными буквами латинского алфавита. При этом символу А в десятичной системе счисления соответствуют 10, B – 11, C – 12, D – 13, E – 14, F – 15.

Запись соответствует следующему числу в десятичной системе счисления:

Весовые коэффициенты разрядов

Для хранения n -разрядных чисел в цифровой аппаратуре можно использовать устройства, содержащие n элементов, каждый из которых запоминает цифру соответствующего разряда числа. Наиболее просто осуществляется хранение чисел, представленных в двоичной системе счисления. Для запоминания цифры каждого разряда двоичного числа могут использовать устройства с двумя устойчивыми состояниями (например, триггеры). Одному из этих устойчивых состояний ставится в соответствие цифра 0, другому – цифра 1.

При хранении десятичных чисел каждая цифра десятичного числа представляется в двоичной форме. Такая форма представления чисел называется двоично-кодированной десятичной системой . Например, число в двоично-кодированной десятичной системе представляется в следующем виде:

Следует заметить, что несмотря на внешнее сходство двоично-кодированного десятичного числа, содержащего в разрядах лишь цифры 0 и 1, с двоичным числом, первое не является двоичным. В этом легко убедиться. Например, если целую часть приведенной выше записи рассматривать как двоичное число, то оно при переводе в десятичную форму означало бы , что не совпадает с целой частью исходного числа 765.

Рассмотренный способ двоичного представления (кодирования) десятичных цифр использует так называемый код 8421 (название кода составлено из весовых коэффициентов разрядов двоичного числа). Наряду с этим кодом при двоичном кодировании десятичных цифр используются различные другие коды, наиболее употребительные из которых приведены в табл. 2.1.