Существуют определённые правила сравнения чисел. Рассмотрим следующий пример.
Вчера термометр показывал 15˚ C, а сегодня показывает 20˚ C. Сегодня теплее, чем вчера. Число 15 меньше числа 20, можем записать так: 15 < 20. А, если мы представим эти числа на координатной прямой, то точка со значением 15 будет расположена левее точки со значением 20.
А сейчас рассмотрим отрицательные температуры. Вчера на улице было -12˚ C, а сегодня -8˚ C. Сегодня теплее, чем вчера. Поэтому считают, что число -12 меньше числа -8. На горизонтальной координатной прямой точка со значением -12 расположена левее точки со значением -8. Можем записать так: -12 < -8.
Итак, если сравнивать числа с помощью горизонтальной координатной прямой, из двух чисел меньшим считается то, изображение которого на координатной прямой расположено левее, а большим то, изображение которого расположено правее. Например, у нас на рисунке А > B и C, но B > C.
На координатной прямой положительные числа располагаются справа от нуля, а отрицательные – слева от нуля, всякое положительное число больше нуля, а всякое отрицательное меньше нуля, и поэтому всякое отрицательное число меньше всякого положительного числа.
Значит, первое на что необходимо обратить внимание при сравнении чисел, – это знаки сравниваемых чисел. Число с минусом (отрицательное) всегда меньше положительного.
Если же мы сравниваем два отрицательных числа, то нужно сравнить их модули: большим будет то число, модуль которого меньше, а меньшим то число, модуль которого меньше. Например, -7 и -5. Сравниваемые числа – отрицательные. Сравниваем их модули 5 и 7. 7 больше чем 5, значит -7 меньше чем -5. Если отметить на координатной прямой два отрицательных числа, то левее окажется меньшее число, а большее будет расположено правее. -7 расположено левее -5, значит -7 < -5.
Сравнение обыкновенных дробей
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.
Можно сравнивать дроби только с одинаковыми знаменателями.
Алгоритм сравнения обыкновенных дробей
1) Если у дроби есть целая часть, сравнение начинаем именно с неё. Большей будет та дробь, у которой целая часть больше. Если целой части у дробей нет или они равны, переходим к следующему пункту.
2) Если дроби с разными знаменателями необходимо привести их к общему знаменателю.
3) Сравниваем числители дробей. Большей будет та дробь, у которой числитель больше.
Обратите внимание, дробь с целой частью всегда будет больше дроби без целой части.
Сравнение десятичных дробей
Десятичные дроби можно сравнивать только с одинаковым количеством цифр (знаков) справа от запятой.
Алгоритм сравнения десятичных дробей
1) Обращаем внимание на количество знаков справа от запятой. Если количество цифр одинаковое, можем приступать к сравнению. Если – нет, дописываем нужное количество нулей в одной из десятичных дробей.
2) Сравниваем десятичные дроби слева направо: целые с целыми, десятые с десятыми, сотые с сотыми и т.д.
3) Большей будет та дробь, в которой одна из частей окажется больше, чем в другой дроби (сравнение начинаем с целых чисел: если целая часть одной дроби больше, значит, и вся дробь больше).
Например, сравним десятичные дроби:
1) Допишем в первой дроби необходимое количество нулей, чтобы уравнять количество знаков после запятой
57,300 и 57,321
2) Сравнивать начинаем слева направо:
целые с целыми: 57 = 57;
десятые с десятыми: 3 = 3;
сотые с сотыми: 0 < 2.
Так как сотые первой десятичной дроби оказались меньше, вся дробь и будет меньше:
57,300 < 57,321
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
1. Какие числа пропущены? а) 497, 498, ..., 500; б) 902, 901, ..., 899. Что означает каждая цифра в записи чисел 902 и 498?
Назовите соседние числа для числа 498, последующее число для числа 899, предыдущее для числа 700.
2. Сравните (>, 799 * 800 701 * 703
65 * 67 650 * 648
Как сравнить многозначные числа?
3. Железный Дровосек учил Страшилу сравнивать числа с помощью числового отрезка. Ему нужно было сравнить числа 231 и 233. Он сделал это так. Результат записал: 231 Страшила тоже учил Железного Дровосека сравнивать числа. Он сказал, что может сравнивать числа по разрядам.
Например: 54 700; 370 ; 698 * 798 456 * 458
712 * 721 534 * 367
4. Сравните
5. Выразите
а) в сотнях: 900, 700, 200, 500, 400;
б) в десятках: 60, 120, 240, 400.
6. Элли придумала задачу и составила таблицу. Каким мог быть текст этой задачи?
7. Подберите значения переменных и решите задачу разными способами.
Мигуны подарили Храброму Льву 3 золотых колокольчика массой а кг каждый и столько же золотых ошейников массой с кг каждый. Чему равна масса всех этих подарков?
8. На какие группы можно разбить подарки Мигунов? Чему равен объём коробки, если её длина 5 дм, ширина 30 см, высота 200 мм? Выразите объём в кубических дециметрах. Пятую часть коробки занимает золотая шапка Бастинды. Чему равен объём этой части коробки?
В этой статье дается подробный обзор наиболее важных моментов, касающихся сравнения рациональных чисел . Если знаки сравниваемых чисел различны, то можно сразу сказать, какое число больше, а какое меньше, поэтому в самом начале мы разберем правило сравнения рациональных чисел с разными знаками. Дальше остановимся на сравнении нуля с другим рациональным числом. После этого подробно остановимся на сравнении положительных рациональных чисел. Наконец, перейдем к правилу сравнения отрицательных рациональных чисел. Теорию будем разбавлять решениями характерных примеров.
Навигация по странице.
Сравнение рациональных чисел с разными знаками
Проще всего выполнить сравнение двух рациональных чисел, имеющих разные знаки . При этом используется правило сравнения чисел с разными знаками : любое положительное число больше любого отрицательного, а любое отрицательное число меньше положительного.
Например, из двух рациональных чисел 5/7 и −0,25 больше число 5/7 , так как оно положительное, а меньше число −0,25 , так как оно отрицательное. Еще пример: отрицательное рациональное число меньше, чем положительное рациональное число 0,000(1) .
Сравнение рационального числа с нулем
Очень просто проводится сравнение нуля с рациональным числом , отличным от нуля. При этом справедливо правило: любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля.
Приведем пару примеров сравнения рационального числа с нулем. Число 4/9 больше, чем 0 , так как 4/9 – положительное число, с другой стороны 0 меньше, чем 4/9 . Еще пример: число 0 больше, чем отрицательное рациональное число −45,5 , с другой стороны число −45,5 меньше нуля.
Также нужно сказать, про сравнение нуля с нулем : нуль равен нулю, то есть, 0=0 .
Здесь нужно заметить, что число нуль может быть записано в виде, отличном от 0 . Действительно, числу 0 отвечает любая запись вида 0/n , где n – любое натуральное число, или записи 0,0, 0,00, … , вплоть до 0,(0) . То есть, например, при сравнении двух рациональных чисел, записи которых имеют вид 0,00 и 0/3 , заключаем, что они равны, так как эти записи отвечают числам 0 и 0 соответственно.
Сравнение положительных рациональных чисел
Сравнение положительных рациональных чисел следует начинать со сравнения их целых частей. При этом используется следующее правило: больше то число, целая часть которого больше, а меньше то число, целая часть которого меньше.
Пример.
Какое из рациональных чисел 0,76 и больше?
Решение.
Сравниваемые рациональные числа положительные, причем достаточно очевидно, что целая часть числа 0,76 , равная нулю, меньше целой части числа , равной двум (при необходимости смотрите сравнение целых чисел). Следовательно, , значит, из двух исходных чисел больше число .
Ответ:
Нюансы в применении указанного выше правила могут возникнуть лишь тогда, когда одним из сравниваемых чисел является периодическая десятичная дробь с периодом 9 , о чем мы упоминали в разделе равные и неравные десятичные дроби .
Пример.
Сравните рациональные числа 15 и 14,(9) .
Решение.
Периодическая дробь с периодом 9 вида 14,(9) является лишь одной из форм записи числа 15 . То есть, 15=14,(9) .
Ответ:
Исходные рациональные числа равны.
Если же целые части сравниваемых рациональных чисел равны, итоговый результат сравнения поможет получить сравнение дробных частей. Дробную часть рационального числа всегда можно представить в виде обыкновенной дроби m/n , а также в виде конечной или периодической десятичной дроби . Таким образом, сравнение дробных частей двух положительных рациональных чисел всегда можно свести к сравнению обыкновенных дробей или к сравнению десятичных дробей . В итоге из двух положительных рациональных чисел с равными целыми частями больше то, дробная часть которого больше, а меньше то – дробная часть которого меньше.
Пример.
Проведите сравнение положительных рациональных чисел 3,7 и .
Решение.
Очевидно, целые части сравниваемых рациональных чисел равны 3=3 . Переходим к сравнению дробных частей, то есть, к сравнению чисел 0,7 и 2/3 .
Покажем два способа.
В первом из осуществим перевод десятичной дроби в обыкновенную : 0,7=7/10 . Приходим к сравнению обыкновенных дробей 7/10 и 2/3 . После их приведения к общему знаменателю 30 получаем , откуда следует, что и . Следовательно, .
Во втором варианте решения выполним перевод обыкновенной дроби в десятичную , имеем . Так от сравнения 0,7 и 2/3 мы пришли к сравнению десятичных дробей 0,7 и 0,(6) , результат которого таков: 0,7>0,(6) . Следовательно, и .
Очевидно, оба способа нас привели к одинаковому результату сравнения исходных рациональных чисел.
Ответ:
Если равны и целые и дробные части сравниваемых положительных рациональных чисел, то эти числа равны.
Пример.
Сравните числа 4,5 и .
Решение.
Очевидно, целые части чисел равны. Дробная часть числа 4,5 равна 0,5 , перевод этой десятичной дроби в обыкновенную дает 1/2 . Таким образом, дробные части исходные чисел тоже равны. Следовательно, исходные рациональные числа равны.
Ответ:
Закончим этот пункт следующим утверждением: если записи сравниваемых чисел полностью совпадают, то эти числа равны. Действительно, в этом случае равны и целые части и дробные части сравниваемых чисел. Например, равными являются рациональные числа 5,698 и 5,698 , также равны числа и .
Сравнение отрицательных рациональных чисел
Сравнение отрицательных рациональных чисел подчиняется правилу сравнения отрицательных чисел : из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, и меньше то, модуль которого больше.
Это правило сводит сравнение отрицательных рациональных чисел к сравнению положительных рациональных чисел, разобранному в предыдущем пункте.
